1.1. 直方图处理
1.1.1. 灰度直方图
描述了一副图像的灰度级统计信息,主要应用于图像分割和图像灰度变换等处理过程中。
- 从数学角度来说,图像直方图描述图像各个灰度级的统计特性,它是图像灰度值的函数,统计一幅图像中各个灰度级出现的次数或概率。归一化直方图可以直接反映不同灰度级出现的比率。
- 横坐标为图像中各个像素点的灰度级别,纵坐标表示具有各个灰度级别的像素在图像中出现的次数或概率。
灰度直方图表示的是数字图像中每一灰度级与其出现频数(即该灰度上出现像素的数目)间的统计关系。
即:横坐标表示灰度级,纵坐标表示频数或者相对频数(即该灰度级上像素出现的概率)
p(rk)=Nnk
rk |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
nk |
6 |
9 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
p(rk) |
6/36 |
9/36 |
6/36 |
5/36 |
4/36 |
3/36 |
2/36 |
1/36 |
![](images/137.jpg)
1.1.2. 灰度直方图性质
- 直方图不具有空间特性。直方图不能反映图像像素空间位置信息。
- 直方图反映图像大致描述。
- 一幅图像唯一对应相应的直方图,而不同的图像可以具有相同的直方图。
- 若一幅图像可分为多个子区,则多个子区直方图之和等于对应的全图直方图。
若一幅图像的像素倾向于占据整个可能的灰度级且分布均匀,则该图像会有高对比度的外观并展示灰色调的较大变化,最终效果将是一幅灰度细节丰富且动态范围较大的图像。
![](images/138.jpg)
![139](images/139.jpg)
- 图像的灰度动态范围太小或者说其直方图集中在某一个灰度区间,视觉效果不理想。
- 当图像直方图占满所有灰度级区间,且所有灰度级的概率分布相接近,即,直方图均匀分布的图像其视觉效果会最理想。
- 另一方面,从随机信号及信息量的角度来看,各个灰度级的概率分布等概率时,信息量最大,熵最大。
- 因此,需要寻找这一个变换,使得变换后图像直方图均匀,这就是直方图均衡化。
1.1.3. 直方图均衡化
设r为要增强像素灰度级,s为增强后新灰度级
0≤s≤10≤s≤1
直方图修正公式:
s=T(r)r=T−1(s)
式中T(r)为变换函数,要满足两个条件:
- T(r)在[0,1]区域内单增,以保证灰度级从黑到白的次序不要出现反转。
- T(r)在[0,1]区域内满足s 在[0,1]范围内,保证变换的像素灰度级仍在允许的灰度级范围内。
关键核心为寻找满足两个条件的变换函数 T(r)
直方图均衡化,又叫做直方图均匀化。其目的是使所有灰度级出现的相对频数(概率)相同,此时图像所包含的信息量最大。 也就是使得原图像的灰度直方图修正为均匀分布的直方图,实现图像的全局整体均匀化。
pr(r)和ps(s)分别表示r和s的灰度概率密度函数
![](images/140.jpg)
一幅离散数字图像,共L个灰度等级,其中第k个灰度级rk出现的像素个数为nk,图像总像素个数为N。则第k个灰度级出现的概率为:
P(rk)=Nnk0≤rk≤1,k=0,...,L−1
进行均衡化处理的变换函数T(r)为:
sk=T(rk)=∑j=0kpr(rj)=∑j=0kNnj
且
rk=T−1(sk)
修正sk为合理灰度级
求新直方图
用处理后的新灰度代替处理前的灰度,生成新图像
例:
给定一幅64*64的8级灰度图像,其灰度级分布如表所示,对其进行直方图均衡化。
rk |
0 |
1/7 |
2/7 |
3/7 |
4/7 |
5/7 |
6/7 |
1 |
nk |
790 |
1023 |
850 |
656 |
329 |
245 |
122 |
81 |
pr(rk) |
0.19 |
0.25 |
0.21 |
0.16 |
0.08 |
0.06 |
0.03 |
0.02 |
解:由原图灰度分布统计可看出,该图像绝大部分像素灰度值集中在低灰度区,图像整体偏暗。
s0=T(r0)=∑j=00pr(rj)=Pr(r0)=0.19
s1=T(r1)=∑j=10pr(rj)=Pr(r0)+Pr(r1)=0.19+0.25=0.44
以此类推:
s2=0.19+0.25+0.21=0.65
s3=0.19+0.25+0.21+0.16=0.81
s4=0.19+0.25+0.21+0.16+0.08=0.89
s5=0.19+0.25+0.21+0.16+0.08+0.06=0.95≈1
s6=0.19+0.25+0.21+0.16+0.08+0.06+0.03=0.98≈1
s6=0.19+0.25+0.21+0.16+0.08+0.06+0.03+0.02=1
修正为合理的灰度级
s0=0.19≈71
s1=0.44≈73
s2=0.65≈75
s3=0.81≈76
s4=0.89≈76
s5=0.95≈1
s6=0.98≈1
s7=1
则新图像对应只有5个不同的灰度级别
s0′=71s1′=73s2′=75s3′=76s4′=1
计算新的直方图
ps(s0′)=ps(71)=pr(r0)=0.19
ps(s1′)=ps(73)=pr(r1)=0.25
ps(s2′)=ps(75)=pr(r2)=0.21
ps(s3′)=ps(76)=pr(r3)+pr(r4)=0.16+0.08=0.24
ps(s4′)=ps(1)=pr(r5)+pr(r6)+pr(r7)=0.06+0.03+0.02=0.11
![](images/141.jpg)